ELETRÔNICA DIGITAL
ARITMÉTICA BINÁRIA E CIRCUITOS SOMADORES

Meio-somador, somador completo e somador-subtrator: do projeto lógico ao circuito

TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 11. ed. São Paulo: Pearson, 2011. Capítulo 6 — Acessar material

Prof. Fabriciu Alarcão Veiga Benini

Professor de Ensino Básico, Técnico e Tecnológico

Área Aeronáutica

Engenheiro Eletricista · Mestre em Sistemas Dinâmicos · Doutor em Telecomunicações

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SÃO PAULO

Campus São Carlos

O que você vai aprender hoje

▸Projetar um meio-somador e um somador completo a partir da tabela-verdade
▸Usar o mesmo fluxo da unidade anterior: tabela → expressão → Karnaugh → portas
▸Entender como um somador de 4 bits é montado em cascata
▸Descobrir como o MESMO circuito também subtrai (complemento de 2)
▸Simular tudo no Tinkercad no final

Transição: Por que somadores importam na aviação?

▸Toda ALU (Unidade Lógico-Arimética) soma números binários milhões de vezes por segundo

Somadores nos sistemas de bordo

▸Computador de voo: cálculos de performance (V1, VR, V2) somam variáveis binárias
▸FMS: soma distâncias e tempos para planejar a rota de navegação
▸ADC: processa altitude, velocidade e razão de subida
▸Transponder: codifica o squawk que você ajusta no painel

O coração do cálculo: a ALU

▸ALU = Arithmetic Logic Unit = Unidade Lógico-Arimética
▸Dentro dela existe um circuito somador binário feito de portas lógicas
▸Hoje vamos projetar esse circuito exatamente como os engenheiros projetam

Transição: Revisão essencial

▸Antes do circuito: dominar a adição binária
▸Depois: transformar adição em portas lógicas

As regras da adição binária

▸0 + 0 = 0 (sem carry)
▸0 + 1 = 1 (sem carry)
▸1 + 0 = 1 (sem carry)
▸1 + 1 = 10 → soma 0, carry 1 ("vai um")
▸São apenas 4 regras — a tabela-verdade inteira do problema!

Adicionando números de vários bits

▸Exemplo resolvido: 1011 + 0110
▸Da direita para a esquerda: 1+0=1 · 1+1=0 (vai 1) · 1+1+1=1 (vai 1) · 0+1+1=0 (vai 1)
▸Resultado: 10001 = 17 decimal ✓ (11 + 6 = 17)
▸O carry de cada coluna entra na coluna seguinte

Conexão com circuitos combinacionais

▸A tabela das 4 regras é uma TABELA-VERDADE — o mesmo ponto de partida de sempre
▸Fluxo de projeto (o mesmo da unidade anterior): 1. Tabela-verdade → 2. Expressão booleana → 3. Simplificação (Karnaugh) → 4. Portas lógicas
▸O somador é COMBINACIONAL PURO: saída depende só das entradas atuais
▸Sem clock, sem memória, sem flip-flops

Transição: Primeiro circuito aritmético

▸Vamos projetar o circuito mais simples que soma: o meio-somador

Meio-somador: definição

▸Soma DOIS bits: A e B
▸Duas saídas: Soma (S) e Carry (C)
▸É o "meio" porque não aceita carry de uma casa anterior

Meio-somador: tabela-verdade

▸Quatro linhas resolvem completamente o problema

A	B	S	C
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Meio-somador: expressões booleanas

▸Lendo a tabela: S vale 1 quando A e B são DIFERENTES → S = A ⊕ B (XOR)
▸C vale 1 somente quando AMBOS valem 1 → C = A · B (AND)
▸Duas portas resolvem a aritmética!

Meio-somador: circuito completo

▸Entradas A e B bifurcam para as duas portas
▸Porta XOR → saída S
▸Porta AND → saída C
▸Teste mental: A=1, B=1 → S = 1⊕1 = 0, C = 1·1 = 1 → "10" = 2 ✓ (1+1=2)

Limitação do meio-somador

▸Problema: e quando houver carry vindo de uma casa anterior?
▸O HA só sabe somar 2 bits — não tem entrada para o carry anterior
▸Solução: generalizar para TRÊS entradas → somador completo

Transição: Generalizando o somador

▸Do meio-somador ao somador completo
▸Mesma metodologia, agora com 3 entradas

Somador completo: definição

▸Soma TRÊS bits: A, B e Cin (carry de entrada)
▸Saídas: Soma (S) e Carry de saída (Cout)
▸É o bloco fundamental de qualquer computador digital

Somador completo: tabela-verdade (parte 1)

▸Metade das 8 combinações possíveis

B	Cin	S	Cout
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Somador completo: tabela-verdade (parte 2)

▸Padrão: S=1 quando o número de uns nas entradas é ÍMPAR

A	B	Cin	S	Cout
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Somador completo: expressão da Soma

▸S = Σm(1,2,4,7): mintermos onde S vale 1
▸Forma simplificada: S = A ⊕ B ⊕ Cin (XOR tripla)
▸Intuição: XOR detecta quantidade ÍMPAR de uns

Mapa de Karnaugh da Soma

▸Linhas AB (00,01,11,10) × colunas Cin (0,1)
▸Padrão XADREZ: nenhum 1 adjacente → nenhum agrupamento possível
▸Quando não há agrupamento, a expressão canônica já é mínima: S = A⊕B⊕Cin
▸O Karnaugh também serve para PROVAR que não há simplificação melhor!

Mapa de Karnaugh do Carry de saída

▸Cout = Σm(3,5,6,7)
▸Três agrupamentos possíveis: duplas (3,7), (5,7), (6,7)
▸Resultado: Cout = A·B + A·Cin + B·Cin
▸É a função MAIORIA: vale 1 quando a maioria das entradas vale 1

Somador completo: circuito com 2 meio-somadores

▸HA1 soma A + B → gera S1 e C1
▸HA2 soma S1 + Cin → gera S (final) e C2
▸Porta OR combina C1 + C2 → Cout
▸Estrutura elegante: 2 HAs + 1 OR = 1 FA

Verificando o FA com um exemplo

▸Entradas: A=1, B=1, Cin=1
▸S = 1⊕1⊕1 = 1 · Cout = 1 (maioria de uns)
▸Resultado: "11" = 3 ✓ (1+1+1=3)
▸Confira na tabela-verdade: última linha!

Transição: Escalando para palavras completas

▸Um bit é pouco — números reais têm 4, 8, 32 bits
▸Como cascatear somadores completos?

Somador paralelo de 4 bits: estrutura

▸4 FAs em cascata: FA0 (LSB) até FA3 (MSB)
▸Carry de saída de cada estágio entra no próximo
▸Cada FA cuida de uma posição de bit
▸Chamado "ripple carry": o carry ondula através do circuito

Somador de 4 bits: exemplo resolvido

▸Calcular 1011 + 0110 (11 + 6):
▸FA0: 1+0+0 → S₀=1, C=0
▸FA1: 1+1+0 → S₁=0, C=1
▸FA2: 0+1+1 → S₂=0, C=1
▸FA3: 1+0+1 → S₃=0, C=1
▸Resultado: 10001 = 17 ✓

O problema do atraso: propagação do carry

▸Cada FA precisa ESPERAR o carry do anterior
▸Com ~10 ns por porta: somador de 4 bits ≈ 40 ns de atraso
▸Somador de 32 bits: até ~1,28 µs — muito lento!
▸Soluções reais: carry lookahead (antecipação do carry)

O CI somador 74HC283

▸Chip pronto com um somador paralelo de 4 bits dentro
▸Equivalente TTL: 74283 · CMOS: 74HC283
▸Entradas: A4..A1, B4..B1, Cin · Saídas: Σ4..Σ1, Cout
▸Mesma ideia do CD4511 do display: o CI implementa a lógica que você aprendeu a projetar

Cascateando CIs somadores: 8 bits

▸Dois 74HC283 lado a lado somam palavras de 8 bits
▸Cout do chip da direita (bits baixos) → Cin do chip da esquerda (bits altos)
▸Princípio idêntico à cascata de FAs individuais

Transição: E a subtração?

▸Todo processador precisa subtrair também
▸Construímos outro circuito? NÃO! Reaproveitamos o somador

Subtrair = somar o complemento de 2

▸Identidade: A − B = A + (complemento de 2 de B)
▸Complemento de 2 de B: inverter cada bit (+1 no final)
▸O "+1" entra exatamente pelo Cin do somador!
▸Subtração vira ADIÇÃO — mesmo hardware

Exemplo resolvido: 5 − 3

▸A = 0101 (5) · B = 0011 (3)
▸Complemento de 1 de B: 1100 → +1 → complemento de 2: 1101
▸Somar: 0101 + 1101 = (1)0010
▸Descartar o carry final (5º bit) → 0010 = 2 ✓

Circuito somador-subtrator: as portas XOR

▸Uma porta XOR em CADA entrada Bi, controlada pelo sinal SUB
▸SUB = 0: Bi ⊕ 0 = Bi → passa direto → modo SOMA
▸SUB = 1: Bi ⊕ 1 = ¬Bi → inverte → complemento de 1
▸O mesmo SUB vai no Cin → adiciona o +1 final

Um circuito, duas operações

▸ADD/SUB = 0 → soma A+B
▸ADD/SUB = 1 → subtração A−B (via complemento de 2)
▸É assim que toda ALU implementa as duas operações com UM circuito
▸Economia de hardware: metade dos transistores

Transição: Hora de colocar a mão na massa

▸Você vai construir e testar tudo isso no Tinkercad
▸Individualmente, no seu ritmo

Atividade Parte 1: Meio-somador

▸Monte com portas: 1 XOR + 1 AND
▸Chaves para A e B; LEDs para S e C
▸Teste TODAS as 4 combinações da tabela-verdade
▸Registre os resultados com capturas de tela

Atividade Parte 2: Somador completo

▸Monte com 2 meio-somadores + 1 porta OR
▸Três chaves: A, B, Cin · Dois LEDs: S e Cout
▸Teste obrigatório: (0,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1)
▸Confira cada resultado contra a tabela-verdade

Atividade Parte 3: Somador de 4 bits

▸Cascateie 4 FAs (ou use o CI 74283 disponível no Tinkercad)
▸Execute e registre: 1011 + 0110 (=10001) · 0101 + 0011 (=8) · 1111 + 0001 (=16, overflow!)
▸No último caso observe: 0000 com carry estourando

Entregável da atividade

▸Relatório PDF contendo:
▸(a) Capturas dos 3 circuitos funcionando
▸(b) Tabelas-verdade do HA e do FA conferidas na simulação
▸(c) Os 3 testes do somador de 4 bits com prints
▸(d) Resposta: qual a vantagem do somador-subtrator sobre dois circuitos separados?

Importante: guarde seu relatório

▸Este relatório será seu ROTEIRO na prática futura de laboratório
▸O circuito simulado hoje será montado fisicamente na bancada
▸Traga impresso ou salvo no celular

Resumo: o que você domina agora

▸Somador = circuito COMBINACIONAL: tabela → expressão → Karnaugh → portas
▸Meio-somador: S = A⊕B, C = A·B (XOR + AND)
▸Somador completo: S = A⊕B⊕Cin, Cout = AB+ACin+BCin (2 HAs + OR)
▸Palavra de 4 bits: 4 FAs em cascata · CI 74HC283
▸Subtração: complemento de 2 + XOR + Cin=1 = somador-subtrator

Encerramento

▸Você projetou hoje o mesmo circuito que existe dentro de cada processador de avião
▸Bibliografia: TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 11. ed. Pearson. Capítulo 6 — seções 6.9 a 6.15
▸Dúvidas? Fórum MEAO da disciplina

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